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  137****2311

  2016-01-29 14:51:27

  两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式，其他公式都可由此导出。下面我们就基于这两个公式推导一下两种还款方式的具体计算公式。
  
  1. 等额本金还款方式
  
  等额本金还款方式比较简单。顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样的。因此：
  
  当月本金还款=总贷款数÷还款次数
  
  当月利息=上月剩余本金×月利率
  
  =总贷款数×（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率当月月还款额=当月本金还款＋当月利息
  
  =总贷款数×（1÷还款次数＋（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率）
  
  总利息＝所有利息之和
  
  =总贷款数×月利率×（还款次数－（１＋２＋３＋。。。＋还款次数－1）÷还款次数）
  
  其中1+2+3+…+还款次数－１是一个等差数列，其和为（1＋还款次数－１）×（还款次数－１）／2＝还款次数×（还款次数－１）／２
  
  所以，经整理后可以得出：
  
  总利息=总贷款数×月利率×（还款次数＋1）÷2
  
  由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此，等额本金还款每个月的还款额是不一样的。开始还得多，而后逐月递减。
  
  2. 等额本息还款方式
  
  等额本息还款方式的公式推导比较复杂，不过也不必担心，只要具备高中数列知识就可以推导出来了。
  
  等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。由于还款利息是逐月减少的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的。
  
  首先，我们先进行一番设定：
  
  设：总贷款额＝Ａ
  
  还款次数＝Ｂ
  
  还款月利率＝Ｃ
  
  月还款额＝Ｘ
  
  当月本金还款＝Ｙｎ（ｎ＝还款月数）
  
  先说第一个月，当月本金为全部贷款额＝Ａ，因此：
  
  第一个月的利息＝Ａ×Ｃ
  
  第一个月的本金还款额
  
  Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息
  
  ＝Ｘ－Ａ×Ｃ
  
  第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额
  
  ＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ
  
  再说第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率
  
  第二个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
  
  第二个月的本金还款额
  
  Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息
  
  ＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
  
  第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ）
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
  
  (1+C)^2表示(1+C)的2次方
  
  第三个月，
  
  第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率
  
  第三个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ
  
  第三个月的本金还款额
  
  Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息
  
  ＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ
  
  第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
  
  －（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
  
  －（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２×Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２×（１＋Ｃ）
  
  －（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］×（１＋Ｃ））
  
  ＝Ａ×（１＋Ｃ）^３　－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］
  
  上式可以分成两个部分
  
  第一部分：Ａ×（１＋Ｃ）^３。
  
  第二部分：［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］
  
  ＝Ｘ×［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］
  
  通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：
  
  剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）
  
  剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。
  
  推广到任意月份：
  
  第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ　－Ｘ×Ｓｎ（Ｓｎ为（１＋Ｃ）的等比数列的前ｎ项和）
  
  根据等比数列的前ｎ项和公式：
  
  １＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ）
  
  可以得出
  
  Ｘ×Ｓｎ＝Ｘ×（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ））
  
  ＝Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
  
  所以，第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
  
  由于最后一个月本金将全部还完，所以当ｎ等于还款次数时，剩余本金为零。
  
  设ｎ＝Ｂ（还款次数）
  
  剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０
  
  从而得出
  
  月还款额
  
  Ｘ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  ＝　　总贷款额×月利率×（１＋月利率）^还款次数÷[（?000保 吕 剩 还款次数－１]
  
  将Ｘ值带回到第ｎ月的剩余本金公式中
  
  第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
  
  ＝Ａ×［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］
  
  ＝Ａ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×月利率
  
  ＝Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  第ｎ月的本金还款额＝Ｘ－第ｎ月的利息
  
  ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）－Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^(ｎ－１)／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  总还款额＝Ｘ×Ｂ
  
  ＝Ａ×Ｂ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  总利息＝总还款额－总贷款额＝Ｘ×Ｂ－Ａ
  
  ＝Ａ×［（Ｂ×Ｃ－１）×（１＋Ｃ）^Ｂ＋１］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
  
  等额本息还款，每个月的还款额是固定的。由于还款初期利息较大，因此初期的本金还款额很小。相对于等额本金方式，还款的总利息要多。

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